Der topologische Begriff des Zusammenhangs und seine Anwendung in der klassischen Analysis

Examensarbeit aus dem Jahr 2003 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Note: 1,3, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen (Lehrstuhl A für Mathematik der RWTH Aachen), Sprache: Deutsch, Abstract: Der topologische Begriff des Zusammenhangs und seine Anwendung in der klassischen Analysis Einleitung Ein Merkmal moderner Wissenschaft ist die zunehmende Verflechtung früher getrennter Disziplinen, welche sich dadurch bemerkbar macht, dass immer wieder Analogien entdeckt werden, deren weitere Ausnutzung einen enormen Vorteil bedeutet, so dass die darauf gegründete Theorie bald in alle betroffenen Gebiete Einzug hält. Als eine solche Analogietheorie kann man auch die Topologie auffassen. In dieser Arbeit untersuchen wir den topologischen Begriff des Zusammenhangs und zeigen einige Analogien zur klassischen Analysis. Wenn wir den Zusammenhang für Mengen in R oder in R2 betrachten handelt es sich um eine sehr anschauliche Eigenschaft, die umgangsprachlich besagt, dass eine Menge beziehungsweise ein Raum nicht in zwei disjunkte Teile zerfällt. Anschaulich ist einleuchtend, dass das Intervall [0,1] eine zusammenhängende Menge in R darstellt, wohingegen die Menge [0; 1/2) U [ ( 1/2,1] aufgrund der Lücke in 1/2 nicht zusammenhängend ist. Im R2 stelle man sich etwa zwei disjunkte Kreisflächen als unzusammenhängende Menge und im Vergleich dazu ein beliebiges zusammenhängendes Flächenstück vor. [...]