Equazioni alle derivate parziali. Un primo corso

Questo libro è stato scritto per un corso di metodi analitici delle equazioni alle derivate parziali (EDP), che si tiene al Politecnico di Milano per il corso di studi in ingegneria matematica. Si tratta di un primo modulo di introduzione alle EDP, di 5 crediti, pensato anche in vista di un successivo modulo di metodi numerici per le EDP. Gli argomenti trattati comprendono anzitutto un'introduzione ai modelli più classici: le equazioni di Poisson, del calore, del trasporto lineare, delle onde. Attraverso queste equazioni si toccano molte idee di base delle EDP, trattando sia il punto di vista dei modelli fisici, sia lo studio delle proprietà matematiche di base delle equazioni (problemi ben posti, principi di massimo, proprietà di media, linee caratteristiche, regolarizzazione o meno di un'equazione...), sia le tecniche classiche di risoluzione esplicita dei problemi considerati (separazione di variabili, trasformata di Fourier, principio di sovrapposizione, metodo di Duhamel...). Successivamente si presentano i primi elementi della teoria delle soluzioni deboli in spazi di Sobolev, per problemi ai limiti per equazioni ellittiche, preceduti dalla necessaria introduzione degli spazi di Sobolev hilbertiani e dei problemi variazionali astratti in spazi di Hilbert. Un paio di capitoli più discorsivi e meno tecnici contengono l'uno la classificazione delle EDP lineari del second'ordine nei tipi ellittico, parabolico, iperbolico, l'altro un'introduzione alle relazioni tra la probabilità e le EDP. Il corso è pensato per studenti che oltre ai corsi matematici di base hanno seguito un corso di “analisi 3”, con primi elementi di integrazione alla Lebesgue, spazi Lp, trasformata di Fourier, geometria degli spazi di Hilbert, ecc. Nel testo si è comunque inserito un capitolo di “cassetta degli attrezzi”, che raccoglie tutti gli strumenti utilizzati nel corso che vadano oltre quelli più elementari. Riferimenti bibliografici dettagliati completano il testo, segnalando fonti dove reperire alcune dimostrazioni qui non fornite, o approfondimenti. Il testo è anche ricco di esercizi, sia di tipo standard, sui metodi di risoluzione esplicita di problemi ai limiti per le “equazioni classiche”, sia di approfondimento guidato della teoria. Svolgimenti dettagliati degli esercizi e complementi sono stati raccolti in un capitolo a sé, il Cap. 10, presente solo nella versione online del testo, in modo da alleggerire il libro cartaceo. La versione online del testo contiene anche alcuni video (animazioni di grafici di funzioni).